Ameisen im Dreieck

Die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Ameisen zusammenstoßen, beträgt 25 %.

Welche Ergebnisse kann es geben?
Dazu untersuchen wir zunächst, welche möglichen Ergebnisse es insgesamt gibt. Diese sind:

• (links, links, links)
• (links, links, rechts)
• (links, rechts, links)
• (links, rechts, rechts)
• (rechts, links, links)
• (rechts, links, rechts)
• (rechts, rechts, links)
• (rechts, rechts, rechts)

Alle acht möglichen Ausgänge sind gleich wahrscheinlich. (Damit handelt es sich also um ein sogenanntes Laplace-Experiment, bei dem wir die Wahrscheinlichkeit durch Abzählen berechnen können.)

Welche Ergebnisse erfüllen die Bedingung?
Die Ameisen stoßen genau dann nicht aufeinander, wenn sich alle drei Ameisen für die gleiche Richtung entscheiden. Damit sind die günstigen Ergebnisse (links, links, links) und (rechts, rechts, rechts).

Damit berechnen wir die Wahrscheinlichkeit

P=Anzahl gu¨nstiger ErgebnisseAnzahl mo¨glicher Ergebnisse=28=0,25P=Anzahl mo¨glicher ErgebnisseAnzahl gu¨nstiger Ergebnisse​=82​=0,25.

Lösung zur Bonusaufgabe
Die Wahrscheinlichkeit, dass $n$ Ameisen in einem $n$-Eck nicht zusammenstoßen, beträgt

P=22nP=2n2​.

Die Herleitung folgt vollkommen analog zum Fall $n=3$ von oben (Dreieck).