Die Unendlichkeit der Primzahlen

Kurze Wiederholung zu Primzahlen

Wie wohl hinlänglich bekannt sein dürfte, ist die Menge der Primzahlen $\mathbb{P}=\{2,3,5,7,11,\dots \}$ eine Teilmenge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$.

Unter einer Primzahl versteht man nämlich eine natürliche Zahl, die genau zwei (verschiedene) Teiler besitzt. Sie lässt sich nur durch $1$ und sich selbst teilen.

Beispiel:

• $13$ ist eine Primzahl, da sie sich nur durch $13$ und $1$ teilen lässt.

• $8$ ist keine Primzahl, da sie sich durch $8,4,2$ und $1$ teilen lässt.

Ein zentrales Resultat der Primzahltheorie ist der sogenannte  Jede gegebene natürliche Zahl $n\ge 2$ lässt sich auf eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Darstellung einer Zahl nennt man ihre (eindeutige)

Beispiel: 126=2⋅63=2⋅3⋅21=2⋅3⋅3⋅7126​=2⋅63=2⋅3⋅21=2⋅3⋅3⋅7​

Übrigens wäre es aus genau diesem Grund äußerst ungünstig, die Zahl $1$ zu den Primzahlen zu zählen, da die Primfaktorzerlegung damit ihre Eindeutigkeit verlieren würde.

Die Unendlichkeit der Primzahlen

Man kann sich nun natürlich fragen, wie viele Primzahlen es denn überhaupt gibt. Tatsächlich wurde diese Frage bereits im 3. Jahrhundert v. Chr. vom griechischen Mathematiker Euklid von Alexandria beantwortet.

Ihm zu Ehren nennt man sein Resultat heute den Satz von Euklid. Dieser besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Oder in seinen Worten:

Zeige, dass es tatsächlich unendlich viele Primzahlen geben muss!